Aunque licenciado en Ciencias Químicas y Derecho, Menéndez optó por la carrera de actor tras su debut en la comedia "Yo, Eva", de Alfonso Paso, presentada en el Festival Teatral del TEU de Comercio celebrado en 1951. En noviembre de 1952 pasó al Teatro Español para trabajar bajo la dirección de Pérez Puig en la obra de Mihura "Tres sombreros de Copa", pieza que le sirvió de lanzamiento a la fama y escrita por un autor que le serviría de talismán durante toda su carrera.
Su trabajo en Mihura le valió uno de los papeles principales de la película “Dos caminos” de Arturo Ruiz Castillo. A partir de este momento Juanjo consolidó su carrera de actor de cine y teatro, que poco después aumentaría con la televisión, de la que fue asiduo en los "Estudios 1". Entre sus montajes más reconocidos se encuentran "Medio minuto de amor", de Aldo Benedetti, en la que trabajó junto a Amparo Rivelles, "La Alondra", de Anhouilh; "Seis personajes en busca de autor", de Pirandello, o "Vamos a contar mentiras", obra dirigida por Alfonso Paso, entre otras.
Sin embargo, su mayor reconocimiento como actor serio le vendría con sus películas anteriores, de la etapa neorrealista, como "Sucedió en Sevilla", "Marcelino Pan y Vino", "Para Siempre" e "Historias de la Radio". El intérprete obtuvo en 1966 el premio Ondas al mejor actor.