Hace unos días, la prensa publicó la noticia de que un joven canadiense de 20 años, Michael Cameron, había conseguido el número primo más largo descubierto hasta el momento. Se trata del número 2123466917-1, que consta de 4.053.496 de dígitos. Si tenemos en cuenta que en una página escrita con ordenador entran unos 1000 caracteres, podemos fácilmente deducir que necesitaríamos más de 4.000 páginas para escribirlo.
Los números primos de este tipo, los que se obtienen restando 1 a una potencia de dos, se llaman primos de Mersenne, que era un matemático francés de finales del siglo XVI que mostró por ellos un enorme interés. Marin Mersenne nació en 1588 cerca de París, estudió teología en la Sorbona e ingresó en la orden religiosa de los Mínimos en 1611. Mersenne, que viajó por el mundo entero, consiguió formar una red de comunicación entre científicos y matemáticos de todos los rincones que visitó. En París, en torno a su figura, se constituyó un pequeño grupo que se llamó la Academia Parisiensis y a la que pertenecieron matemáticos tan conocidos como Blaise Pascal o Pierre Fermat. Este pequeña sociedad de científicos constituyó el germen de lo que poco después sería la Academia de Ciencias francesa fundada por Colbert en 1666. Meresenne murió en París el 1 de septiembre de 1648.
Los números primos que interesaron a Mersenne fueron los que se obtenían calculando el resultado de 2p-1 cuando a p se le da el valor de un número primo cualquiera. Por ejemplo el 7 es un número primo igual a 23-1 y el 31 es 25-1. El interés por este tipo de números primos venía ya de antiguo. Euclides, en el libro IX de sus Elementos, estudió los llamados números perfectos, que son aquellos que coinciden con la suma de sus divisores. Por ejemplo 6 es un número perfecto porque es igual a la suma de sus divisores 1, 2 y 3; 28 es también perfecto pues sus divisores, 1,2,4,7 y 14, suman 28 y, sin embargo, 10 no es perfecto porque la suma de sus divisores, 1, 2 y 5, no es 10 sino 8.
Euclides demostró que multiplicando una potencia de 2 por la siguiente potencia de 2 menos 1 se podían conseguir números perfectos. Así 6 es igual que 21(22-1) y 28 es lo mismo que 22(23-1). Ahora bien, Euclides también supo que no todos los números de la forma 2n(2n+1-1) eran perfectos pues, sin ir más lejos, 120 es igual que 23(24-1) y no es un número perfecto. Descubrió que sólo si el resultado de 2n+1-1 era un número primo 2n(2n+1-1) sería un número perfecto. En el caso del 120 lo que ocurría es que al calcular 24-1 sale 15, que no es primo sino compuesto.
A partir de entonces, los matemáticos que se interesaron por las propiedades de los números primos se fijaron sobre todo en aquellos que se podían obtener como 2p-1. Euclides ya sabía que no siempre que se restaba 1 a una potencia de 2 se conseguía un número primo, como ocurría con 24-1=15, la cuestión estaba en averiguar las condiciones que debería cumplir p para que 2p-1 fuese primo. Lo primero que se supo es que el hecho de que ese número p fuese primo era una condición imprescindible y que, sin embargo, había casos en los que siendo p primo 2p-1 no lo era, como ocurre, por ejemplo, con 211-1=2047, que es un número divisible por 23.
Pues bien, uno de los matemáticos que más investigó sobre los números primos de la forma 2p-1 fue Mersenne que, en 1644, publicó un trabajo en el que aseguraba que, para p número primo menor que 257, sólo había once primos de la forma 2p-1: aquellos que se obtuvieran haciendo p igual a 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 . Mersenne cometió cinco errores ya que, no sólo 267-1 y 2257-1 no son primos, sino que, además, 261-1, 289-1 y 2107-1 sí que lo son y el 61, 89 y 107 no aparecían incluidos en su lista.
Pero los cinco errores cometidos por el religioso francés no impidieron que su nombre quedara para siempre unido al de los números primos. Ahora sabemos bien que con p menor que 257 hay exactamente 12 números primos de Mersenne. El último de ellos 2127-1 tiene 39 cifras.
El primo de Mersenne número 23 es el 211213-1. Es un número de 3.376 cifras, fue descubierto en 1963 por Donald B. Gillies, miembro del departamento de matemáticas de la Universidad de Illinois. Tan orgullosos se sintieron los matemáticos por este descubrimiento que franquearon sus sobres con un sello especial que decía "211213-1 es primo".
En 1996, cuando ya se conocían 34 números primos de Mersenne un excelente programador informático, George Woltman, instaló en una página web un programa que permite a cualquiera buscar primos de Mersenne. Es la llamada Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) que ha proporcionado ya cinco nuevos primos de Mersenne. El último, el pasado 14 de noviembre, ocupa el lugar 39 en la lista y a su descubridor Michael Cameron sólo le llevó unas cuantas semanas encontrarlo.
La GIMPS anima a cualquier usuario de Internet que tenga "un ordenador personal, paciencia y un montón de suerte" a buscar números primos de la forma 2p-1 y ofrece un premio de 100.000 dólares al primero que descubra un primo de Mersenne con 10 millones de dígitos. Solamente avisa que comprobar si un número tan largo es primo o no a un ordenador de los más potentes del mercado le llevará un año entero.
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